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<!DOCTYPE html>

<title>Contrainte holonome</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Contrainte holonome</h1>

</header>

</div>

En <a href="M%C3%A9canique_analytique" title="Mécanique analytique">mécanique analytique</a>, on dit qu'un système de N <a href="Point_mat%C3%A9riel" title="Point matériel">particules</a> est soumis à une contrainte holonome s'il existe une <a href="%C3%89quation_alg%C3%A9brique" class="mw-redirect" title="Équation algébrique">équation algébrique</a> caractérisant l'état du système, et dont les variables sont les vecteurs coordonnées <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {r}}_{i}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {r}}_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/de93eb4c8bca39012a94e9809c45d7fd677bf975.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.023ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {r}}_{i}}" loading="lazy"> des particules, pour <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \scriptstyle i\in \{1,2,...,N\}}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \scriptstyle i\in \{1,2,...,N\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fa5d7ffd1d0cffe3dad27660db99b3953da57be9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.155ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \scriptstyle i\in \{1,2,...,N\}}" loading="lazy">. On écrit cette contrainte sous la forme <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ f\left({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2},...,{\vec {r}}_{N},t\right)=0}">

<mrow>

<mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ f\left({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2},...,{\vec {r}}_{N},t\right)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ed43da3b04750153c05de27ee972d94074a79d53.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.863ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ f\left({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2},...,{\vec {r}}_{N},t\right)=0}" loading="lazy">. Si les contraintes sont modélisées par un système d'équations de ce type, on parle encore de contraintes holonomes.

Une contrainte qui ne peut pas s'écrire sous cette forme est dite non holonome.

Si l'équation de la contrainte holonome dépend du <a href="Temps" title="Temps">temps</a>, (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}\neq 0}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}\neq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/945d0b108284b22355801623766e319cd740a9ed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:7.694ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}\neq 0}" loading="lazy">), elle est dite rhéonome. Si elle n'en dépend pas, (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}=0)}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}=0)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/078c999ff366f861d0a5f8caf954abb56f3c46d4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:8.598ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}=0)}" loading="lazy">, elle est dite scléronome.

Mathématiquement, une contrainte holonome définit une <a href="Vari%C3%A9t%C3%A9_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" title="Variété (géométrie)">variété</a> fermée plongée dans l'espace <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{3N}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{3N}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4a3ed0ae351bf51e2ff8e9a6b7c5fac141f1f4a5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.192ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{3N}}" loading="lazy"> dans laquelle évolue le <a href="Syst%C3%A8me_de_particules" title="Système de particules">système de particules</a>. La <a href="Dimension" class="mw-disambig" title="Dimension">dimension</a> de cette variété est le nombre de degrés de liberté du système, i.e. le nombre de coordonnées indépendantes à considérer pour le décrire. En général K contraintes holonomes enlèvent K degrés de liberté, mais, suivant les équations et leur indépendance, il peut en être autrement (on peut ramener K équations indépendantes à une seule équation si on le souhaite ; ce sujet dans toute sa généralité relève de la <a href="G%C3%A9om%C3%A9trie_alg%C3%A9brique" title="Géométrie algébrique">géométrie algébrique</a>).

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Exemple">Exemple</h2></div>

Les contraintes d'un corps supposé rigide sont holonomes scléronomes : pour deux particules quelconques numérotées <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ i,j}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ i,j}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/18bcc61d9773c334d4a959b7a5b19a646c34b9b7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.375ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \ i,j}" loading="lazy">, il existe une constante <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ C_{i,j}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ C_{i,j}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/70c8942b6ef7c409fcad0bf379f415f63851db67.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:4.177ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ C_{i,j}}" loading="lazy"> telle que l'on doit avoir <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \|{\vec {r}}_{i}-{\vec {r}}_{j}\|=C_{i,j}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|{\vec {r}}_{i}-{\vec {r}}_{j}\|=C_{i,j}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/415e2fad379ecade1e99212cbff3028d65f4f7eb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:16.016ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \|{\vec {r}}_{i}-{\vec {r}}_{j}\|=C_{i,j}}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Coordonnées_généralisées">Coordonnées généralisées</h2></div>

Le système étudié peut être décrit par d'autres variables que les positions spatiales de ses N points : angles, positions relatives, etc. Dans ce cas, les nouvelles coordonnées utilisées sont appelées « <a href="Coordonn%C3%A9es_g%C3%A9n%C3%A9ralis%C3%A9es" title="Coordonnées généralisées">coordonnées généralisées</a> » ; elles sont souvent notées <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \{q_{1},...,q_{n}\}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \{q_{1},...,q_{n}\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2d7c1a1b92c13aa946dcff0cb670b094953e6484.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.422ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ \{q_{1},...,q_{n}\}}" loading="lazy"> et sont au nombre de <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ n\leq 3N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ n\leq 3N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7add6acde308b63d294b7cea78ce4d67ecdf88ce.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:8.3ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \ n\leq 3N}" loading="lazy">. On a <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {r}}_{i}={\vec {r}}_{i}\left(q_{1},...,q_{n},t\right)}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {r}}_{i}={\vec {r}}_{i}\left(q_{1},...,q_{n},t\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7d1d11ea33c935525b4f5ccfe7c98eab1a3b9267.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.73ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {r}}_{i}={\vec {r}}_{i}\left(q_{1},...,q_{n},t\right)}" loading="lazy">, et la contrainte holonome peut alors s'écrire <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ f(q_{1},q_{2},...,q_{n},t)=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ f(q_{1},q_{2},...,q_{n},t)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/293ade395094ced55bcff70de10e828f07261464.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.445ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ f(q_{1},q_{2},...,q_{n},t)=0}" loading="lazy">. Le système des N points, évoluant dans l'espace de dimension 3, peut alors être considéré comme décrit dans un espace de dimension n.

<ul><li>Un système de N corps ponctuels non soumis à une contrainte holonome a 3N degrés de liberté et nécessite donc 3N variables réelles indépendantes pour être décrit (par exemple : les 3N coordonnées des N corps).</li>

<li>Un système de N corps ponctuels soumis à K contraintes holonomes indépendantes a 3N - K degrés de liberté et nécessite donc 3N - K variables réelles indépendantes pour être décrit : ce peut être des coordonnées spatiales de certains corps, ou d'autres données.</li></ul>

<dl><dt>Exemple du positionnement d'un triangle</dt></dl>

Dans l'espace, un <a href="Triangle" title="Triangle">triangle</a> quelconque est déterminé par trois sommets (9 coordonnées: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {(x_{1},y_{1},z_{1}),(x_{2},y_{2},z_{2}),(x_{3},y_{3},z_{3})}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {(x_{1},y_{1},z_{1}),(x_{2},y_{2},z_{2}),(x_{3},y_{3},z_{3})}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/53afa3e780be40a5a2c4ae24009c32b027aa892b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:33.838ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {(x_{1},y_{1},z_{1}),(x_{2},y_{2},z_{2}),(x_{3},y_{3},z_{3})}}" loading="lazy">) et possède donc 9 degrés de liberté. Or, la forme d'un triangle non localisé dans l'espace possède 3 degrés de liberté, étant complètement déterminée par la longueur de ses 3 côtés (L1,L2,L3). La connaissance de la forme du triangle à positionner dans l'espace induit les 3 contraintes holonomes indépendantes suivantes (avec L1,L2,L3 fixés) :

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle {\begin{array}{lcr}(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}+(z_{1}-z_{2})^{2}=L_{1}^{2}\\(x_{1}-x_{3})^{2}+(y_{1}-y_{3})^{2}+(z_{1}-z_{3})^{2}=L_{2}^{2}\\(x_{2}-x_{3})^{2}+(y_{2}-y_{3})^{2}+(z_{2}-z_{3})^{2}=L_{3}^{2}\end{array}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6238c31a212ae6015d0e9781100c3eaaf2f3b8cd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.671ex; width:42.705ex; height:10.509ex;" alt="{\textstyle {\begin{array}{lcr}(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}+(z_{1}-z_{2})^{2}=L_{1}^{2}\\(x_{1}-x_{3})^{2}+(y_{1}-y_{3})^{2}+(z_{1}-z_{3})^{2}=L_{2}^{2}\\(x_{2}-x_{3})^{2}+(y_{2}-y_{3})^{2}+(z_{2}-z_{3})^{2}=L_{3}^{2}\end{array}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Ces trois contraintes retirent 3 degrés de liberté au système, lequel en compte maintenant 9 - 3 = 6. Dans l'espace, la position d'un triangle de forme donnée peut donc être déterminée par 6 variables indépendantes. Par exemple, on peut choisir 3 <a href="Coordonn%C3%A9es_cart%C3%A9siennes" title="Coordonnées cartésiennes">coordonnées cartésiennes</a> pour situer l'un de ses sommets, disons P. À partir de ce sommet, on détermine la direction dans laquelle placer le second, disons Q, avec un <a href="Vecteur_unitaire" title="Vecteur unitaire">vecteur unitaire</a> de <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f936ddf584f8f3dd2a0ed08917001b7a404c10b5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.732ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}" loading="lazy"> (cela correspond à 2 angles). Ensuite, on fait tourner le troisième sommet autour de l'axe (PQ) pour déterminer sa position (cela prend 1 angle). En termes de coordonnées généralisées, on peut donc décrire la position d'un triangle quelconque dans <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f936ddf584f8f3dd2a0ed08917001b7a404c10b5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.732ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}" loading="lazy"> comme un vecteur de <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times S^{2}\times S^{1}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times S^{2}\times S^{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/db90a7f9423a1797be6c0546907fdaa32ebb99df.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:13.565ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times S^{2}\times S^{1}}" loading="lazy">, où <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S^{n}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ee006452a59bf1eb29983b4412348b66517a2d23.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.74ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle S^{n}}" loading="lazy"> désigne la n-sphère, l'ensemble des vecteurs unitaires de <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ccea3976e1f8a1bb853c8ca00e52d518a3a4fe07.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.997ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}" loading="lazy">. De même, comme la position de tout <a href="M%C3%A9canique_du_solide" title="Mécanique du solide">solide</a> rigide est déterminée par trois de ses points non alignés quelconques, elle est déterminée par 6 variables indépendantes.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Déplacement_virtuel,_forces_de_contrainte_et_multiplicateurs_de_Lagrange">Déplacement virtuel, forces de contrainte et multiplicateurs de Lagrange</h2></div>

Un <a href="D%C3%A9placement_virtuel" title="Déplacement virtuel">déplacement virtuel</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left(\delta q_{1},\delta q_{2},...,\delta q_{n}\right)}">

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left(\delta q_{1},\delta q_{2},...,\delta q_{n}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ecdf64fee017519a53f7f7f6b172ad0e381db066.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.597ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \left(\delta q_{1},\delta q_{2},...,\delta q_{n}\right)}" loading="lazy"> est un déplacement instantané et infinitésimal du système de telle sorte qu'il vérifie toujours ses contraintes. Pour une contrainte holonome, on doit donc avoir <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ f\left(q_{1}+\delta q_{1},q_{2}+\delta q_{2},...,q_{n}+\delta q_{n},t\right)=0}">

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ f\left(q_{1}+\delta q_{1},q_{2}+\delta q_{2},...,q_{n}+\delta q_{n},t\right)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f646f68a619e754af1b92ac811f4a4f8a3f9fa8c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:40.937ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ f\left(q_{1}+\delta q_{1},q_{2}+\delta q_{2},...,q_{n}+\delta q_{n},t\right)=0}" loading="lazy">, d'où, au premier ordre, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}.\delta q_{i}=0}">

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}.\delta q_{i}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/43844e5ff5070f0461dae44c3fa8c87d068d9e63.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:15.913ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}.\delta q_{i}=0}" loading="lazy">.

On peut justifier que le vecteur <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}\right)_{i}}">

<msub>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}\right)_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f4a3ccc17ccb478ae812d00853056f757c48f215.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:8.212ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}\right)_{i}}" loading="lazy"> est proportionnel à la force de contrainte <a href="Force_g%C3%A9n%C3%A9ralis%C3%A9e" class="mw-redirect" title="Force généralisée">généralisée</a>, associée à la contrainte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4d5ff7312a01506eee6ecea7dca662763a101c9d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.859ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \ f}" loading="lazy">, dont les n coordonnées sont <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ Z_{j}(q,t)=\sum _{i=1}^{N}{\vec {Z}}_{i}({\vec {r}},t).{\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{j}}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ Z_{j}(q,t)=\sum _{i=1}^{N}{\vec {Z}}_{i}({\vec {r}},t).{\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{j}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9df6a966b0521b45a3c869f73e867bc0eed56dca.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:27.268ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle \ Z_{j}(q,t)=\sum _{i=1}^{N}{\vec {Z}}_{i}({\vec {r}},t).{\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{j}}}}" loading="lazy"> (proportionnalité justifiée par un raisonnement sur les degrés de liberté du système<a href="#cite_note-1">[1]</a>), le coefficient de proportionnalité étant nommé <a href="Multiplicateur_de_Lagrange" title="Multiplicateur de Lagrange">multiplicateur de Lagrange</a>. En cas d'existence de K contraintes holonomes, on peut justifier de la même manière que la somme des forces de contraintes est une composition linéaires des vecteurs, indexés par k = 1,2,...,K, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left({\frac {\partial f_{k}}{\partial q_{i}}}\right)_{i}}">

<msub>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left({\frac {\partial f_{k}}{\partial q_{i}}}\right)_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eb8ed0afabce2878cd53c217506068c2c09b6e8e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:8.603ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \left({\frac {\partial f_{k}}{\partial q_{i}}}\right)_{i}}" loading="lazy">, les coefficients étant nommés également multiplicateurs de Lagrange.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Exemples_de_contraintes_non_holonomes">Exemples de contraintes non holonomes</h2></div>

<ul><li>Un corps M ponctuel dont les mouvements sont limités à l'intérieur d'une sphère de centre O et de rayon R vérifie l'inéquation <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \scriptstyle OM\leq R}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \scriptstyle OM\leq R}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5397182eb2b4b699a8fb498162f2e55b0aa0809b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.507ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle \scriptstyle OM\leq R}" loading="lazy">, soit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle \|{\vec {r}}_{M}-{\vec {r}}_{O}\|\leq R}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle \|{\vec {r}}_{M}-{\vec {r}}_{O}\|\leq R}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/edb1483822de6a5bf348c4bdde974a9664a9aca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.919ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \textstyle \|{\vec {r}}_{M}-{\vec {r}}_{O}\|\leq R}" loading="lazy">, ce qui est une contrainte non holonome.</li>

<li>Une masse ponctuelle attachée à l'extrémité d'un <a href="Syst%C3%A8me_masse-ressort" title="Système masse-ressort">ressort</a> vérifie la contrainte non holonome <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}x=0}">

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}x=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b3bdd214eb2bf0368ccfd8dd456e823aa22cde33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:15.369ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}x=0}" loading="lazy">, avec <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msqrt>

<mfrac>

</mfrac>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4949e44f7e8b28b77faafce9c399525330d391d5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:10.799ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}}" loading="lazy">.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Notes_et_références">Notes et références</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> Chapitre I, Complément 1.2, p34-35 de Mécanique : de la formulation lagrangienne au chaos hamiltonien, par Claude Gignoux et Bernard Silvestre-Brac ; éditeur EDP-Sciences, 2002, 467 pages (<a href="International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> 2868835848).

</li>

</ol>

</div>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Bibliographie">Bibliographie</h2></div>

<ul><li>Claude Gignoux et Bernard Silvestre-Brac ; Mécanique : de la formulation lagrangienne au chaos hamiltonien, éditeur EDP-Sciences, 2002, 467 pages (<a href="International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> 2868835848).</li></ul>

<ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail"><li> Portail de la physique </li> </ul></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>